cos

第二章 运算方法和运算器#

2.1 数制与编码#

一、进位计数制及其相互转换#

10 进制和 R 进制之间的转换
R 进制到 10 进制：

$\sum_{i = n}^{-m} k_i × r^i$
eg: 二进制数转换十进制数

//二转十
int bToD(char str[]) {
    int sum = 0;
    for(int i = 0; str[i] != '\0'; i++) {
        sum = sum*2 + (str[i] - '0');
    }
    return sum;
}

10 进制到 R 进制：

• 整数部分：除 r 取余，r 为进制基数
• 小数部分：乘 r 取整代码如下

//将十进制数n转化为k进制整数
void dToK(int n, int k, char str[]) {
    int i = 0;
    if (n == 0) {
        str[0] = '0';
        return;
    }
    while(n) {
        str[i++] =n % k + '0';
        n = (n-n % k) / k;
    }
    i--;
    //reverse
    for (int j = 0; j < i; j++,i--) {
        char t = str[j];
        str[j] = str[i];
        str[i] = t;
    }
}

二、真值和机器数#

• 真值：一般书写的数
• 机器码：机器中表示的数，要解决在计算机内部数的正、负符号和小数点运算问题。

三、BCD 码#

表示一位十进制数的二进制码的每一位有确定的权。一般用 8421 码，其 4 个二进制码的权从高到低分别为 8、4、2 和 1。用 0000，0001，...，1001 分别表示 0，1，...，9，每个数位内部满足二进制规则，而数位之间满足十进制规则，故称这种编码为 “以二进制编码的十进制 (binary coded decimal，简称 BCD) 码”。

注意！
BCD 码的取值是从 0000 到 1001（也就是十进制的 0 到 9）
有时对 BCD 码进行加法或减法会有这个范围以外的值出现，需要人为调整方能得出正确的结果。

在计算机内部实现 BCD 码算术运算，要对运算结果进行修正，对加法运算的修正规则是:

• 如果两个一位 BCD 码相加之和小于或等于 (1001)~2~，即 (9)~10~，不需要修正；

例1 ① 1+8 = 9
  0 0 0 1
+ 1 0 0 0 
——————————
  1 0 0 1 
不需要修正

• 如相加之和大于或等于 (10)~10~，要进行加 6 修正，并向高位进位，进位可以在首次相加 (例 1 ③) 或修正时 (例 1 ②) 产生。

例1 ② 4+9 = 13
  0 1 0 0
+ 1 0 0 1 
——————————
  1 1 0 1 
+ 0 1 1 0  修正
——————————
1 0 0 1 1
0001 0011即为13~
③ 9+7 = 16
  1 0 0 1
+ 0 1 1 1
——————————
1 0 0 0 0
+ 0 1 1 0 修正
——————————
1 0 1 1 0 
0001 0110即为16~

四、字符与字符串#

1、字符与字符串的表示方法#

符号数据：字符信息用数据表示，如ASCII等
字符表示方法ASCII: 用一个字节来表示，低 7 位用来编码 (128), 最高位为校验位，如图

字符串的存放方法：占用主存中连续的多个字节，每个字节存一个字符。

2、汉字的表示方法#

一级汉字 3755 个，二级汉字 3008 个
汉字内码：汉字信息的存储，交换和检索的机内代码，两个字节组成，每个字节高位都为 1 (区别于英文字符)
汉字字模码：汉字字形点阵

五、校验码（重点）#

推荐视频3Blue1Brown 的汉明码 part1、3Blue1Brown 的汉明码 part2，讲的非常有趣！虽然主要讲汉明码，但对奇偶校验码也有详细描述。
校验码（只介绍奇偶校验码)

引入#

信息传输和处理过程中受到干扰和故障，容易出错。

解决方法#

在有效信息中加入一些冗余信息（校验位)

定义#

设 x=(x~0~ x~1~.x~n-1~) 是一个 n 位字，则偶校验位 C 定义为=x~0~ ^ x~1~ ^ x~2~ ^ ... ^x~n-1~, 式中 ^ 代表按位加，表明只有当 x 中包含有偶数个 1时，才使 C=0，否则 C=1。只能检查出错，而不能纠正错误。同理可以定义奇校验。
奇校验：包含奇数个 1 时才使得 C=0, 否则 C=1

2.2 定点数的表示和运算（重点）#

一、定点数的表示#

1、原码表示法#

定点小数 x~n~.x~n-1~x~n-2~…..x~0~，x 为真值