数据结构学习笔记＜4＞二叉树

一、什么是树#

1. 树的定义#

树（Tree）：n（n≥0）个结点构成的有限集合。
当 n=0 时，称为空树；
对于任一棵非空树（n>0）, 它具备以下性质：

树中有一个称为 “根（Root）” 的特殊结点，用 r 表示。
其余结点可分为 m（m>0）个互不相交的有限集 T1，T2，……，Tm, 其中每个集合本身又是一棵树，称为原来树的 “子树（SubTree）”。
子树是不相交的
除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点；
一个N 个结点的树有N-1 条边。

2. 树的一些基本术语#

1. 结点的度（Degree）：结点拥有子结点的数量
2. 树的度： 最大的结点的度称为树的度
3. 叶结点（Leaf）： 度为 0 的结点
4. 父结点（Parent）： 如果有上一个结点，则称这个上一结点是它的父结点，如果没有上一结点，则这个属性则无父结点。
5. 子结点（Child）：若 A 结点是 B 结点的父结点，则称 B 结点是 A 结点的子结点；子节点也称孩子结点
6. 兄弟结点（Sibling）：具有同一父结点的各结点彼此是兄弟结点。
7. 路径和路径长度：从结点 n1 到 nk 的路径为一个节点序列 n1，n2，……，nk，ni 是 ni+1 的父结点。路径所包含边的个数为路径的长度
8. 祖先结点（Ancestor）：沿树根到某一结点路径上的所有节点都是这个结点的祖先结点
9. 子孙结点（Descendant）：某一结点的子树中所有结点是这个结点的子孙
10. 结点的层次（Level）：规定根结点在 1 层，其它任一结点的层数是其父结点的层数加 1。
11. 树的深度（Depth）：树中所有结点的最大层次是这棵树的深度。
12. 森林： m 棵不相交的树的集合

二、树的表示#

1. 儿子 - 兄弟表示法#

在这里插入图片描述

三、二叉树#

1. 定义#

二叉树 T: 一个有穷的结点集合。
这个结点可以为空
若不为空，则它是由根结点和称为其左子树 TL和右子树 TR的两个不相交的二叉树组成
二叉树具体五种基本形态 a 空树 b 只有一个结点 c 有一个结点和左子树 d 有一个结点和左子树 e 有一个结点和左右子树
在这里插入图片描述
PS：二叉树的子树有左右顺序之分

几种特殊二叉树
在这里插入图片描述
二叉树的抽象数据类型定义
类型名称：二叉树
数据对象集：一个有穷的结点集合。
若不为空，则由根结点和其左、右二叉子树组成。
操作集：BT∈BinTree，Item∈ElementType，重要操作有：

Boolean IsEmpty (BinTree BT); // 判别 BT 是否为空
void Traversal (BinTree BT); // 遍历，按某顺序访问某个结点；
BinTree CreatBinTree (); // 创建一个二叉树

常用的遍历方法有：

void PreOrderTraversal(BinTree BT); //先序--- 根、左子树、右子树
void InOrderTraversal(BinTree BT); //中序--- 左子树、根、右子树
void PostOrderTraversal(BinTree BT); //后序--- 左子树、右子树、根
void LevelOrderTraversal(BinTree BT); //层次遍历，从上到下、从左到右

2. 二叉树的几个重要性质#

一个二叉树第 i 层的最大节点数为 2^i-1^，i≥1。
深度为 k的二叉树有最大结点总数为 2^k^-1，k≥1。
对任何非空二叉树 T，若 n0 表示叶结点的个数、n2 是度为 2 的非叶结点个数，那么两者满足关系 n0=n2+1。
具有n 个结点的完全二叉树的深度 k必为log~2~n+1

3. 二叉树的存储结构#

1、顺序存储结构#

完全二叉树：按从上至下、从左到右顺序存储n个结点的完全二叉树的结点父子关系

非根结点（序号 i > 1）的父结点的序号是 [i / 2] ;(向下取整)
结点（序号为 i）的左孩子的序号是 2i(2i ≤ n，否则没有左孩子)
结点（序号为 i）的右孩子的序号是 2i+1(2i + 1 ≤ n，否则没有右孩子)

一般二叉树也可采用这种顺序存储结构，但是会造成空间浪费

满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树，区别于完全二叉树在这里插入图片描述

2、链式存储#

(1) 定义#

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode {
		ElementType Data;
		BinTree Left;
		BinTree Right;
}

(2) 遍历（递归实现）#

先序遍历：

1. 先访问根结点；
2. 先序遍历其左子树；
3. 先序遍历其右子树。

void PreOrderTraversal(BinTree BT) {
	if(BT) {
		printf("%d", BT->Data);
		PreOrderTraversal( BT->Left);
		PreOrderTraversal( BT->Right);
	}
}

中序遍历：

1. 中序遍历其左子树
2. 访问根结点
3. 中序遍历其右子树。

void InOrderTraversal(BinTree BT) {
	if(BT) {
		InOrderTraversal( BT->Left);
		printf("%d", BT->Data);
		InOrderTraversal( BT->Right);
	}
}

后序遍历：

1. 后序遍历其左子树
2. 后序遍历其右子树。
3. 访问根结点

void PostOrderTraversal(BinTree BT) {
	if(BT) {
		PostOrderTraversal( BT->Left);
		PostOrderTraversal( BT->Right);
		printf("%d", BT->Data);
	}
}

(2) 遍历（非递归实现）#

基本思路：使用堆栈或队列

中序遍历非递归遍历算法

遇到一个结点，就把它压栈，并去遍历它的左子树；
当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它；
然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树。

void InOrderTraversal(BinTree BT) {
	BinTree T = BT;
	Stack S = CreatStack(MaxSize);//创建并初始化堆栈S
	while( T || !IsEmpty(S) ) {
		while(T) {//一直向左并将沿途结点压入堆栈
			Push(S, T);
			T = T->Left;
		}
		if( !IsEmpty(S) ) {
			T = Pop(S);	//结点弹出堆栈
			printf("%5d", T->Data);//访问结点
			T = T->Right;//转向右子树
		}
	}
}

层序遍历

需要一个存储结构保存暂时不访问的结点（堆栈、队列）
队列实现：遍历从根节点开始，首先将根节点入队，然后开始执行循环：结点出队、访问该节点、其左右儿子入队
1. 根结点入队；
2. 从队列中取出一个元素；
3.访问该元素所指结点；
4. 若该元素所指结点的左、右孩子结点非空，将其左、右孩子的指针顺序入队。

void LevelOrderTraversal(BinTree BT) {
	Queue Q;  BinTreee T;
	if ( !BT ) return;	//若是空树直接返回
	Q = CreateQueue(MaxSize);//创建并初始化队列Q
	AddQ(Q, BT);
	while( !IsEmpty(Q) ) {
		T = DeleteQ(Q);
		printf("%d\n", T->Data);//访问结点
		if(T->Left) AddQ(Q, T->Left);//将左孩子放入队列
		if(T->Right) AddQ(Q, T->Right);//将右孩子放入队列
	}
}

补充知识
数据管理的基本操作之查找：根据某个给定关键字 K，从集合 R 中找出关键字与 K 相同的记录，分为静态查找与动态查找
静态查找：集合中记录是固定的，没有插入和删除操作，只有查找。
法 1：顺序查找（哨兵概念：在数组的边界上设一个值，碰到哨兵循环就可以结束了，可以少一个分支判断）复杂度 O (n);
法 2：二分查找（前提：数组连续且有序）
动态查找：集合中记录时动态变化的，除查找外还可能发生插入和删除