banner
cos

cos

愿热情永存,愿热爱不灭,愿生活无憾
github
tg_channel
bilibili

数据结构学习笔记<6> 堆与哈夫曼树与并查集

一、堆#

1. 堆是什么#

堆(Heap), 是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象,有以下性质:

  • 任意节点的值是其子树所有结点中的最大值 / 最小值(有序性)
  • 堆总是一棵用数组表示的完全二叉树。
    在这里插入图片描述

2. 最大堆的操作函数#

定义

typedef struct HeapStruct *MaxHeap;
struct HeapStruct {
	ElementType *Elements;//存储堆元素的数组
	int Size;//当前元素个数
	int Capacity;//最大容量
};

(1) 空最大堆的创建 (Create 函数)#

MaxHeap Create(int MaxSize) {
	MaxHeap H = malloc(sizeof(struct HeapStruct) );
	H->Elements = malloc( (MaxSize+1) * sizeof(ElementType));//+1是由于我们从下标1开始存储
	H->Size = 0;
	H->Capacity = MaxSize;
	H->Elements[0] = MaxData;//下标0设为"哨兵" 为大于堆中所有可能元素的值,便于之后的操作
	return H;
}

(2) 最大堆的插入 (Insert 函数)#

插入一个元素时与其父结点比较,若插入元素更大则两者交换,再与其父节点比较,如此直到插入元素比父结点小为止。
在这里插入图片描述

void Insert(MaxHeap H, ElementType item) {
	int i;
	if(IsFull(H)) {
		printf("最大堆已满");
		return;
	}
	i = ++H->Size;//i指向插入后队中最后一个元素的位置。
	for(; H->Elements[i/2] < item; i /= 2) {//当item的父结点的值小于item值循环才继续
		H->Elements[i] = H->Elements[i/2];//向下过滤结点()
	}
	H->Elements[i] = item;//将item插入
}

(3) 最大堆的删除 (Delete 函数)#

取出根节点(最大值)元素,同时在堆中删除根结点,保证其新的根节点仍是堆中的最大值。

  • 用最大堆中最后一个元素,作为新的根节点,删除原来的最后一个元素
  • 看根结点左右儿子是否比其大,是则继续往下过滤
ElementType DeleteMax(MaxHeap H) {
	int Parent,Child;//父结点,孩子结点
	ElementType MaxItem, temp;
	if(IsEmpty(H) ) {
		printf("最大堆已空");
		return;
	}
	MaxItem = H->Elements[1]; //取出根结点最大值,暂存在MaxItem中
	temp = H->Elements[H->Size--];//存储最后一个元素,然后size--
	for (Parent = 1; Parent*2 <= H->Size; Parent = Child) {
		Child = Parent * 2;//Child此时为Parent的左孩子
		if (Child != H->Size && H->Elements[Child] < H->Elements[Child+1] ) {
			Child++;	//当且仅当右孩子存在且其值比左孩子大时,Child变成右孩子的下标
		} 
		if (temp >= H->Elements[Child] ) break;//temp找到了应该放的地方
		else //用孩子结点的值取代父结点
			H->Elements[Parent] = H->Elements[Child];
	}
	H->Elements[Parent] = temp;
	return MaxItem;//返回删除前最大值
}

(3) 从已有元素创建最大堆#

将已经存在的 N 个元素按最大堆的要求存放在一个一维数组中。

  • 法 1 通过插入操作,将 N 个元素一个个插入到一个空的最大堆中,时间复杂度最大为 O (NlogN)。
  • 法 2 在线性时间复杂度下建立最大堆。
  • (1)将 N 个元素按输入顺序存入,使其先满足完全二叉树的结构特性
  • (2)调整各结点位置,使其满足最大堆的有序特性

建堆时间复杂度 O (n),为书中各结点的高度和
从倒数第一个有儿子的结点开始,其肯定有左儿子
将定义中的 Elements 数组改成 Data 数组存储已有元素

void PercDown(MaxHeap H, int p) {//将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 原理同删除操作
	int Parent,Child;
	ElementType X;
	X = H->Data[p];//取出根结点值
	for(Parent = p; Parent*2 <= H->Size; Parent = Child) {
		Child = Parent * 2;
		if( Child != H->Size && H->Data[Child] < H->Data[Child+1]) {
			Child++;
		}
		if(X >= H->Data[Child]) break;//找到了合适位置
		else 
			H->Data[Parent] = H->Data[Child];
	}
	H->Data[Parent] = X;
}
void BuildHeap(MaxHeap H) {//调整H->Data[]中的元素使其满足最大堆的有序性,此处假设所有H->Size个元素都已存在H->Data[]中
	int i;
	//从最后一个结点的父节点开始,到根结点1
	for(i = H->Size/2; i > 0; i--)
		PercDown(H,i);
}

二、哈夫曼树#

1. 哈夫曼树是什么#

带权路径长度 (WPL):设二叉树有n 个叶子结点,每个叶子结点带有权值 w~k~,从根结点到每个叶子结点的长度为 l~k~,则每个叶子结点的带权路径长度之和就是:WPL = $\sum_{k=1}^n$w~k~ l~k~.
最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree)最小的二叉树,其特点为:

  • 没有度为 1 的结点
  • n 个叶子结点的哈夫曼树共有 2n-1 个结点
  • 哈夫曼树的任意非叶结点的左右子树交换后仍是哈夫曼树
  • 同一组权值,是可能存在不同构的两棵哈夫曼树的
    在这里插入图片描述

2. 哈夫曼树的操作#

哈夫曼树的构造,每次将权值最小的两棵二叉树合并
主要问题:如何选取两个最小的?利用最小堆!

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode {
	int Weight;
	HuffmanTree Left,Right;
};
HuffmanTree Huffman(MinHeap H) {
	//假设H->Size个权值已经存在了H->Elements[]->Wight里
	int i;	HuffmanTree T;
	BuildMinHeap(H);//将H->Elements[]按权值调整为最小堆
	for(i = 1; i < H->Size; i++) {//做H->Size-1次合并
		T = malloc(sizeof(struct TreeNode));//建立新结点
		T->Left = DeleteMin(H);//从最小堆中删除一个结点,作为新T的左子结点
		T->Right = DeleteMin(H);//从最小堆中删除一个结点,作为新T的右子结点
		T->Weight = T->Left->Weight + T->Right->Weight;
		Insert(H,T);//将新T插入最小堆
	}
	T = DeleteMin(H);
	return T;
}

3. 哈夫曼树的应用 —— 哈夫曼编码#

如何进行编码,可以使总编码空间最少?
出现频率高的字符用的编码短些,出现频率低的字符编码可以长一些,同时要避免二义性。
前缀码 (prefix code): 任何字符的编码都不是另一字符的前缀,即可避免二义性
可以构造一个二叉树用于编码,左右分支分别为 0、1,当所有的字符都在叶结点上的时候即可
在这里插入图片描述
就可以用哈夫曼树!

三、集合#

关于集合这一块主要就是并查集,之前有学过这篇博客写的超棒:超有爱的并查集~(原博挂了,转载)
所以在这儿就不多说啦~
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

~ 并查集板子~#

#include <iostream>
#include <set>
using namespace std;
const int maxn = 1000000;
int fa[maxn];
int ans[maxn];
void init(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
}
int find(int x) {//查询+路径压缩 找根节点并将沿途每个结点的父节点都设为根节点
    return x == fa[x]? x : (fa[x] = find(fa[x]));
}
inline void merge(int a, int b) {
    fa[find(a)] = find(b);
}
int main() {
    int m, n, k, x;
    cin >> m >> n >> k;
    x = n*m;
    init(x);
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int a,b;
        cin >> a >> b;
        merge(a, b);
    }
    for(int i = 1; i <= x; i++) {
        ans[find(i)] = 1;
    }
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= x; i++) {
        if(ans[i] == 1) cnt++;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}
加载中...
此文章数据所有权由区块链加密技术和智能合约保障仅归创作者所有。