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数据结构学习笔记<8> 排序

一、拓扑排序#

1. 概念定义#

AOV 网络#

例如,假定一个计算机专业的学生必须完成图 3-4 所列出的全部课程。从图中可以清楚地看出各课程之间的先修和后续的关系。如课程 C5 的先修课为 C2,后续课程为 C4 和 C6。通常,我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网 (Activity On Vertex network),简称 AOV 网。
以计算机

拓扑序、DAG#

  • 若图中从 V 到 W 有一条有向路径,则 V 一定排在 W 之前。满足该条件的顶点序列称为一个拓扑序
  • 获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序
  • AOV 若有合理的拓扑序,则必定是有向无环图(Directed Acyclic Graph,DAG

2. 拓扑排序思路#

拓扑排序的思路是每次都找一个入度为 0 的顶点并输出,并且将该顶点所有邻接点入度减 1。
可以看出,找入度为 0 的顶点是关键,若每次都要遍历那必定会耗费大量时间空间,所以更聪明的算法是,随时将入度变为 0 的顶点放入一个容器中。
伪码描述如下

void TopSort() {
	int cnt = 0;
    for(图中的每个顶点V) 
		if( Indegree[W] == 0)
			Enqueue(V,Q);
	while(!isEmpty(Q)) {
		V = Dequeue(Q);
		输出V,或记录V的输出序号,cnt++;
        for(V的每个邻接点W)
        	if(--Indegree[W] == 0)
	            Enqueue(V,Q);
	}
	if(cnt != |V|)
		Error("图中有回路");
}

模板代码:

const int maxn = 1005;
int N,M;//顶点数、边数(活动数)
int edge[maxn][maxn];
int mint[maxn];//到每个活动检查点的最短时间
int In[maxn];//每个活动检查点的入度
void init() {
    memset(edge, -1, sizeof(edge));
    memset(mint, 0, sizeof(mint));
    memset(In, 0, sizeof(In));
}
bool Topsort() {//拓扑排序
    queue<int> q;
    for(int i = 0; i < N; ++i) {
        if(In[i] == 0) 
            q.push(i);
    }
    int cnt = 0;
    while(!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();
        cnt++;
        for(int i = 0; i < N; ++i) {
            if(v == i || edge[v][i] == -1) continue;//检查以v为起点的所有边
            In[i]--;
            //其他操作
            if(In[i] == 0) q.push(i);
        }
    }
    if(cnt != N) return false;
    else return true;
}

例题#

08 - 图 8 How Long Does It Take (25 分)
是一道拓扑排序的变形,程序不算复杂,建议尝试;
题意、代码及思路指路博客:

3. 解决实际问题#

关键路径问题#

AOE 网络 (Activity On Edge) 网络#

  • 一般用于安排项目的工序
  • 在 AOE 网络中,活动是表示在边上的,顶点被分为三个部分:顶点编号、最早完成时间和最晚完成时间
    https://www.icourse163.org/learn/ZJU-93001?tid=1459700443#/learn/content?type=detail&id=1235254066&cid=1254945243&replay=true
先推出最早完成时间 —— mint [j] = max ( mint [ j ], mint [ i ]+edge [ i ][ j ])#

在这里插入图片描述

再由后往前推出最晚完工时间 —— maxt [i] = min ( maxt [ j ], maxt [ j ]-edge [ i ][ j ])#
即可得机动时间 —— D [i][ j ] = maxt [ j ] - mint [ i ] - edge [ i ][ j ]#

在这里插入图片描述
而关键路径,是由绝对不允许延误的活动组成的路径,即没有机动时间的路径。

例题#

08 - 图 8 How Long Does It Take (25 分)
是一道拓扑排序的变形,求最早完成时间
08 - 图 9 关键活动 (30 分)
求关键路径
代码及思路指路博客:PTA 数据结构题目集 第八周 —— 图(下)

二、简单排序#

1. 前提#

void X_Sort(ElementType A[], int N);
  • 为简单起见,讨论整数的从小到大排序
  • N 为整数
  • 只讨论基于比较的排序(> = < 有定义)
  • 只讨论内部排序
  • 稳定性: 任意两个相等的数据排序前后的相对位置不发生改变
  • 没有哪一种排序是任何情况下都表现最好的!

2. 排序算法#

测试题目:09 - 排序 1 排序 (25 分)

冒泡排序#

它重复地走访过要排序的元素列,依次比较两个相邻的元素,如果顺序(如从大到小、首字母从 Z 到 A)错误就把他们交换过来。走访元素的工作是重复地进行直到没有相邻元素需要交换,也就是说该元素列已经排序完成。
这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢 “浮” 到数列的顶端(升序或降序排列),就如同碳酸饮料中二氧化碳的气泡最终会上浮到顶端一样,故名 “冒泡排序”。

——摘自百度百科

void Bubble_Sort(ll a[], int N) {
    for(int P = N-1; P >= 0; P--) {
        bool flag = false;
        //一趟冒泡 从上往下比较,上边大于下边则交换
        for(int i = 0; i < P; ++i) {    
            if(a[i] > a[i+1]) {
                swap(a[i], a[i+1]);
                flag = true;
            }
        }
        if(!flag) break; //一趟下来已经有序了,未发生交换
    }
}

时间复杂度#

最好情况:顺序,时间复杂度 T = O (N)
最坏情况:整个逆序,时间复杂度 T = O (N^2^)

优缺点#

优点:简单易写,只需交换相邻元素,即使是单向链表也可直接排序,稳定(交换前后相等元素的位置不变)
缺点:时间复杂度较大,慢!

测试结果#

测试结果如下,有 3 个样例没过
在这里插入图片描述

插入排序#

插入排序,一般也被称为直接插入排序。对于少量元素的排序,它是一个有效的算法。插入排序是一种最简单的排序方法,它的基本思想是将一个记录插入到已经排好序的有序表中,从而一个新的、记录数增 1 的有序表。在其实现过程使用双层循环,外层循环对除了第一个元素之外的所有元素,内层循环对当前元素前面有序表进行待插入位置查找,并进行移动。

——摘自百度百科

void Insertion_Sort(ll a[], int N) {
    for(int P = 1; P < N; P++) {
        ll t = a[P];//摸下一张牌
        int i;
        for(i = P; i > 0 && a[i-1] > t; --i) 
            a[i] = a[i-1];  //移出空位 直到前面那个这个元素小于当前元素
        a[i] = t;   //新牌落位
    }
}

时间复杂度#

最好情况:顺序,时间复杂度 T = O (N)
最坏情况:整个逆序,时间复杂度 T = O (N^2^)
一般情况下时间复杂度下界计算:
交换两个相邻元素正好消去 1 个逆序对
设有 I 个逆序对
则 T (N,I) = O (N+I)

优缺点#

优点:稳定
缺点:比较次数不一定,比较次数越少,插入点后的数据移动越多,尤其是当数据总量庞大的时候

测试结果#

测试结果如下,挺给力的
在这里插入图片描述

如何提高效率#

有定理如下

  • 任意 N 个不同元素组成的序列平均具有 N (N-1)/4 个逆序对
  • 任何仅以交换相邻两元素来排序的算法,其平均时间复杂度为 O (N^2^)

所以要提高算法效率,我们必须

  • 每次消去不止 1 个逆序对!
  • 每次交换相隔较远的 2 个元素!

希尔排序#

利用了插入排序的简单,克服插入排序只能交换相邻两元素的缺点。

希尔排序是把记录按下标的一定增量分组,对每组使用直接插入排序算法排序;随着增量逐渐减少,每组包含的关键词越来越多,当增量减至 1 时,整个文件恰被分成一组,算法便终止。

——摘自百度百科

定义增量序列 D~M~ >D~M-1~>…>D~1~ = 1
对每个 D~k~ 进行 “D~k~ 间隔” 排序(k=M,M-1,……,1)
注意:“D~k~ 间隔” 有序的序列,在执行 “D~k-1~ 间隔” 排序后,仍然是 “D~k~ 间隔” 有序的!

希尔增量序列选取#

  • 原始希尔排序增量序列 D~M~ = N/2, D~k~ = D~k+1~ / 2
    • 增量元素不互质,则小增量可能根本不起作用!
      在这里插入图片描述
void Shell_Sort(ll a[], int N) {
    for(int D = N/2; D > 0; D /= 2) { //希尔增量序列
        for(int P = D; P < N; ++P) { //插入排序
            ll t = a[P];
            int i;
            for(i = P; i >= D && a[i-D] > t; i -= D) 
                a[i] = a[i-D];
            a[i] = t;
        }
    }
}
  • Hibbard 增量序列
    • D~k~ = 2^k^-1 —— 相邻元素互质
  • Sedgewick 增量序列等

优缺点#

优点:快,数据移动少!适用于数据量较大的情况
缺点:不同的增量序列选取会导致算法复杂度差异,如何选取增量序列只能根据经验,不稳定

测试结果#

可以看到耗时都没超过 100ms,在这些测试样例里的速度还是很理想的
在这里插入图片描述

选择排序#

在介绍堆排序前,先介绍选择排序,老朋友了

void Selection_Sort(ll a[], int N) {
    for(int i = 0; i < N; ++i) {
        int mini = 0;
        ll ans = inf;
        //找i后边的最小元 并将其位置赋给mini
        for(int j = i; j <= N-1; ++j) {
            if(a[j] < ans) {
                ans = a[j];
                mini = j;
            }
        }
        //将未排序部分的最小元换到有序部分的最后位置
        swap(a[i], a[mini]);
    }
}

时间复杂度#

无论如何复杂度都为 O (N^2^)

测试结果#

测试结果如下,虽然都能过,但后几个样例耗时都很大
在这里插入图片描述

堆排序#

这里以排成升序为例,我们需要将其原始数组调整成下标从 0 开始的最大堆,再将最大堆顶与当前最后的元素交换(相当于删除最大堆顶)后调整

void swap(ll& x, ll& y) {
    ll t = x;
    x = y;
    y = t;
}
void PercDown(ll a[], int N, int rt) {
    //将N个元素的数组中以a[now]为根的子堆调整为最大堆
    int father, son;
    ll tmp = a[rt];
    for(father = rt; (father*2+1) < N; father = son) {
        son = father * 2 + 1;//左儿子
        if(son != N-1 && a[son] < a[son+1]) //右儿子存在且比左儿子大
            son++;
        if(tmp >= a[son]) break;//找到该放的地方
        else a[father] = a[son];//下滤
    }
    a[father] = tmp;
}
inline void BuildHeap(ll a[], int N) {
    for(int i = N/2-1; i >= 0; --i) {
        PercDown(a, N, i);
    }
}
void Heap_Sort(ll a[], int N) {
    BuildHeap(a, N);
    for(int i = N-1; i > 0; --i) {
        swap(a[0], a[i]);//最大堆顶a[0]与a[i]交换
        PercDown(a, i, 0);//删除后进行调整
    }
}

时间复杂度#

堆排序给出了最佳的平均时间复杂度
最好情况 O (nlogn)
最坏情况 O (nlogn)
平均时间复杂度 O (nlogn)

优缺点#

优点:快!即使是最坏情况下性能也很优越,使用的辅助空间少
缺点:不稳定,不适合对象的排序。

测试结果#

测试结果如下,好像比希尔排序给力些哦~
在这里插入图片描述

归并排序#

核心是有序子列的合并,这里给出递归实现的版本~非递归实现看这里哦归并排序循环实现

void Merge(ll a[], int s, int m, int e, ll tmp[]) {
    //将数组a的局部a[s,m]和a[m+1,e]合并到数组tmp,并保证tmp有序
    //然后再拷贝回a[s,m]  时间复杂度O(e-m+1),即O(n);
    int pb = s;//pb为tmp数组的下标
    int p1 = s, p2 = m+1;//p1指向前一半p2指向后一半
    while (p1 <= m && p2 <= e) {
        if (a[p1] < a[p2])
            tmp[pb++] = a[p1++];
        else 
            tmp[pb++] = a[p2++];
    }
    while(p1 <= m) 
        tmp[pb++] = a[p1++];
    while(p2 <= e) 
        tmp[pb++] = a[p2++];
    for (int i = 0; i < e-s+1; ++i)
        a[s+i] = tmp[i];
}
void MergeSort(ll a[], int s, int e, ll tmp[]) {
    if (s < e) {//若s>=e则不做任何事情
        int m = s + (e-s)/2;
        MergeSort(a, s, m, tmp);//前一半排序
        MergeSort(a, m+1, e, tmp);//后一半排序
        Merge(a, s, m, e, tmp);//归并 将a中s到m和m+1到e的两个数组有序的归并
    }
}

时间复杂度#

最好情况 O (nlogn)
最坏情况 O (nlogn)
平均时间复杂度 O (nlogn)

优缺点#

优点:稳定、快
缺点:较占用空间

测试结果#

测试结果如下,你品,你细品
在这里插入图片描述

快速排序#

1. 设 k = a [0], 将 k 挪到适当位置,使得比 k 小的元素都在 k 左边,比 k 大的元素都在 k 右边 (在 O (n) 时间完成)
2. 把 k 左边的部分快速排序
3. 把 k 右边的部分快速排序
k 为主元

void QuickSort(ll a[], int s, int e){//将a[s,e]快排
    if (s >= e)
        return;
    int k = a[s];
    int i = s,j = e;
    while (i != j) {
        while (j > i && a[j] >= k)  --j;
        swap(a[i],a[j]);
        while (i < j && a[i] <= k)  ++i;
        swap(a[i],a[j]);
    }//处理完后a[i] = k;
    QuickSort(a, s, i-1);//快排左边部分
    QuickSort(a, i+1, e);//快排右边部分
}

时间复杂度#

最好情况每次正好中分 O (nlogn)
最坏情况 O (N^2^)
平均时间复杂度 O (nlogn)

优缺点#

优点:是所有内部排序的最快的算法
缺点:不稳定,最坏情况下效率较慢!

测试结果#

测试结果如下
在这里插入图片描述

表排序#

当数据量大且待排序的元素为对象、移动所需时间特别高时,我们需要间接排序
定义一个指针数组作为 “表”(table),记录待排元素
在这里插入图片描述

时间复杂度#

最好情况初始即有序
最坏情况有 N/2 个环,每个环包含 2 个元素,交换两个元素需要走三步,需要 3N/2 次元素移动
T = O (m N),m 是每个 A 元素的复制时间

基数排序(桶排序的推广)#

之前讲的算法都需要比较,最坏情况下也都有 Nlogn,还能更快吗?
假设我们有 N 个学生,他们的成绩是 0~100 之间的整数(于是有 M = 101 个不同的成绩值),如何在线性时间内将学生按成绩排序
LSD 主位优先 MSD 次位优先在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

基数排序的代码我参考了这篇博客的,用的方法非常巧妙基数排序

ll getMax(ll a[], int n) {//找n个元素的a数组中最大数
    int maxx = a[0];
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        if(a[i] > maxx) maxx = a[i];
    }
    return maxx;
}
void radixsort(ll a[], int n, int exp) { //对n个元素的数组a按照"某个位数"进行排序(桶排序),基数为10
    ll tmp[maxn];
    ll T[20] = {0}; //有负数的十进制 二十个桶
    for(int i = 0; i < n; ++i) //T存储该桶里有多少个数
        T[(a[i]/exp)%10 + 10]++;
    for(int i = 1; i < 20; ++i) //让T的值是在tmp中的位置
        T[i] += T[i-1];
    for(int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        int now = T[(a[i]/exp)%10 + 10];//当前这个数所应在的位置
        tmp[now-1] = a[i];
        T[(a[i]/exp)%10 + 10]--;
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        a[i] = tmp[i]; //将排好序的tmp赋给a
}
void Radix_Sort(ll a[], int n) {
    ll maxnum = getMax(a, n);
    for(int exp = 1; maxnum/exp > 0; exp *= 10) 
        radixsort(a, n, exp);
}

时间复杂度#

N 为待排序元素个数,而 B 是桶数
O (P (N+B)) 一趟分配时间为 O (N),一趟收集时间复杂度为 O (B),共进行 P 趟分配和收集

优缺点#

优点:适用于位数不多,待排序列最大位数不是特别大的情况,快
缺点:空间换时间

测试结果#

测试结果如下,超快的说~
在这里插入图片描述

三、排序算法的比较#

在这里插入图片描述

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